SEMANA 10: CADENAS DE MARKOV

Para poder definir las cadenas de Markov primero debe definirse lo que es un Proceso de Markov:

PROCESO DE MARKOV

Un proceso de Markov es aquel en que la probabilidad de ocurrencia de un estado futuro depende del estado inmediatamente anterior.

Las cadenas de Markov representan o modelan el comportamiento de estos sistemas, de forma que se puede conocer la probabilidad de cambiar de un estado a otro.

Principios de las cadenas de Markov

1. La matriz de transición debe ser cuadrada.

2. Las probabilidades de los estados entre 0 y 1.

3. Las suma de las probabilidades de los estados es igual a 1.

Las cadenas de Markov, como se definió anteriormente se representan en matrices, y de acuerdo al tipo de arreglo que tenga la matriz estas se pueden clasificar en:

1. Matriz regular

Es una un arreglo donde los elementos de una matriz son diferentes de 0 y 1.

2. Matriz Absorbentes

Es un arreglo donde un estado de la cadena de Markov es igual a 1.

3. Matriz Ergodica

Si los estados en una cadena son recurrentes, a periódicos y se comunican entre si, se dice que la cadena es ergódica.

ES UNA CADENA DISCRETA, QUE RELACIONA ESTADOS FINITOS MEDIANTE PROBABILIDADES QUE EXPRESAN LOS INTERCAMBIOS DE ESTADOS EN UN PERIODO DE TIEMPO

SEMANA 10: MATRIZ ABSORBENTE

Veamos el siguiente ejemplo en el cual explicaremos algunos conceptos importantes:

Una empresa  emplea a tres tipos de ingenieros: principiantes, con experiencia  y socios. Durante un año determinado hay una probabilidad de 0.15 que un ingeniero principiante sea ascendido a ingeniero con experiencia y una probabilidad de 0.05 que deje la empresa sin ser socio. También hay una probabilidad de 0.20 que un ingeniero con experiencia sea ascendido a socio y una probabilidad de 0.10 que deje la empresa sin ser socio. También hay una probabilidad de 0.05 de que un socio deje la empresa. Determine:

a)   ¿Cuál es la duración promedio de un ingeniero recién contratado?

b)   ¿cuál es la probabilidad de que un ingeniero principiante llegue a ser socio?

c)   ¿Cuál es la duración promedio que pasa un socio en la empresa?

Primero, determinamos la matriz de transición en la cual se observa que hay dos estados absorbentes: el ingeniero deje la empresa sin ser socio y que un socio deje la empresa

Donde IP= INGENIERO PRINCIPIANTE

IE= INGENIERO CON EXPERIENCIA

IS  = INGENIERO SOCIO

IDS= INGENIERO DEJA LA EMPRESA SIENDO SOCIO

IDSS= INGENIERO DEJA LA EMPRESA SIN SER SOCIO

Luego hallamos la matriz I-N, donde I es la matriz de identidad y N la matriz no absorbente identificada en el paso anterior.

Luego a través de Gauss-Jordan, hallamos la matriz inversa como se muestra a continuación.

Para responder la primera pregunta debemos tener presente un nuevo concepto que es el valor esperado que es el tiempo en que un estado demora antes de ser absorbido. Este valor esperado se obtiene a través de la matriz inversa. De esta forma, la duración promedio de un recién contratado seria:

Para hallar la probabilidad de que un ingeniero principiante llegue a ser socio se debe multiplicar la matriz inversa por la matriz absorbente, de la siguiente manera:

Obsérvese que esta probabilidad es igual a 0.5.

De igual manera como en la primera parte, la duración promedio de un socio en la empresa es:

SEMANA 9: MATRIZ ERGODICA

EJERCICIO PRÁCTICO (EXCEL)

1-CONSIDERAMOS UN CAJERO QUE ATIENDE A LAS PERSONAS QUE LLEGAN A UNA SUCURSAL BANCARIA
2- QUE EN LA FILA NUNCA HAY MÁS DE TRES PERSONAS (INCLUYENDO LA QUE SE ATIENDE)
3- SUPONGAMOS QUE LOS CLIENTES NO LLEGAN EN GRUPO

SEMANA 8: MODELOS DE SISTEMAS DE LINEA DE ESPERA

NOTACIÓN DE KENDALL:

Un Sistema podrá ser notado de la siguiente manera, A/B/X/Y/Z/V, donde: 

• A, es el modelo de llegadas (valores posibles), pueden ser:

" M = tiempos entre llegadas exponenciales"

"D= tiempos entre llegadas deterministas"

"G= tiempos entre llegadas generales (cualquier distribución)"

• B, es el modelo de servicio, puede tomar los mismos valores que A.
• X, es el número de servidores.
• Y , es la capacidad del sistema (número máximo de clientes en el sistema), se puede omitir si es INFINITA.
• Z, es la disciplina (se puede omitir si es FIFO)
• V, es el número de estados de servicio, se puede omititr si es 1.

TIPOS DE SISTEMAS

• A continuación se muestran los Tipos de Colas existentes:

SISTEMA M/M/1

1. Se tiene un sistema de llegadas que se producen según un proceso de Poisson de razón "lamda", donde los tiempos entre llegadas estarán distribuidos exponencialmente Exp .

• Donde "lamda" es el número medio de llegadas por unidad de tiempo.

    2. Los tiempos entre servicios son distribuidos de manera exponencial Exp. 

• Dónde "mu" es el número medio de paquetes que el servidor es capaz de atender por unidad de tiempo.

Se conocen las siguientes fórmulas para este modelo:

• Tiempo promedio en que el cliente permanece en cola:

• Tiempo proemdio de espera en cola:

• Número previsto en la linea de espera (longitud de cola):

SISTEMA M/M/C:

Es un Sistema de colas de canal múltiple de una sola línea con llegada exponencial y procesos de servicio. 

• Una población de clientes infinita.
• Los clientes se presentan de acuerdo a un proceso de poisson con una tasa promedio de 1 clientes por unidad de tiempo.
• Una sola fila de espera con capacidad infinita.

En base a la siguiente condición:

• Utilizaremos las siguientes fórmulas:

EJERCICIO PRÁCTICO: (EXCEL)

MÉTODO POISSON

SEMANA 7: TEORÍA DE COLAS O LINEAS DE ESPERA

La teoría que menciona Jaime Enrique Varela en el libro Introducción de Operaciones, indica que la Teoría de colas se ocupa del análisis matemático de los fenómenos de las líneas de espera o colas, menciona que las colas se presentan con frecuencia cuando se solicita una servicio por parte de una serie de clientes y tanto el servicio como los cliente, son de tipo PROBABILÍSTICO. Esta es una de las definiciones más importantes entre otros autores.

Cada día dentro de nuestra rutina, podemos observar la teoría de colas, como lo puede ser un semáforo, la espera en un banco, la fila para conseguir el ticket para un concierto, así como el tráfico en el envio de paquetes en redes.

Existen varios tipos de Colas, como son M/M/1, M/M/1/K y M/M/C. , sin embargo se hará hincapié en tres casos especiales serán el M/M/1 y M/M/C.

A continuación, se muestra una linea de espera, con un solo servidor:

También pueden existir Teoria de Colas, con más de 1 servidor: